ملخصات في المعادلات التفاضلية

بسم الله الرحمن الرحيم

أقدم بين يديكم أول ملخصاتي لمادة المعادلات التفاضلية الجزئية وهي سلسلة من الملخصات تأتي مختصرة من المراجع العربية والأجنبية مع شرح مبسط  للأمثلة وحلول للتمارين.

• أولاً مفاهيم أساسية:

رتبة المعادلة التفاضلية:  Order of Differential Equation

هي أعلى درجة إشتقاق في المعادلة التفاضلية.

درجة المعادلة التفاضلية : Degree of Differential Equation 

هي أس أعلى مشتقة موجودة في المعادلة التفاضلية.

في بعض المعادلات التفاضلية تعطى شروط يجب أن تتحقق بحل المعادلة التفاضلية وهذه الشروط تمكننا من تحديد الثوابت الاختيارية التي تظهر في الحل العام نتيجة لاستخدام عمليات التكامل لإيجاد الحل .
وهذه الشروط قد تكون حدية أو ابتدائية فالشروط الحدية هي التي تكون في نقاط مختلفة.

وتسمى المعادلة التفاضلية بهذه الشروط مسألة قيم حدية.

وأما الشروط الابتدائية فهي في نقطة واحدة لكل الشروط.


وتسمى المعادلة التفاضلية بهذه الشروط مسألة قيم إبتدائية.

• ثانيا تكوين المعادلة التفاضلية : Formation the D.E

قاعدة أساسية :

لإيجاد المعادلة التفاضلية إذا علم مجموع حلها العام الذي يحتوي n من الثوابت الإختيارية نجري عمليات التفاضل بالتتابع إلى n من المراتب فيكون لدينا n من المعادلات ثم نحل هذه المعادلات لإيجاد الثوابت الإختيارية بدلالة المشتقات المعطاة ثم تعويضها في الحل العام لنحصل على المعادلة التفاضلية المطلوبة .

• ثالثاً طرق حل المعادلات التفاضلية: Methods of solving D.Es

يقصد بحل المعادلة التفاضلية إيجاد دالة أو علاقة بين المتغيرات الواردة فيها والخالية من المشتقات التفاضلية بحيث يؤدي التعويض إلى اختصار طرفي المعادلة إلى مقدارين متطابقين.

هناك طرق عديدة لحل المعادلات التفاضلية و تختلف باختلاف نوع ورتبة المعادلة التفاضلية فهناك حلول كاملة للمعادلات التفاضلية والتى تسمى بالحل المغلق وهناك حلول عددية وهي حلول تقريبية وهناك طريقة التكرار وطريقة العناصر المنتهية لحل المعادلات التفاضلية التي يصعب حلها بالطرق التي تتناولها نظرية المعادلات التفاضلية بشقيها العادي والجزئي.

• رابعاً تصنيف المعادلات التفاضلية: Classification of D.Es

تصنف المعادلات التفاضلية إلى خمسة تصنيفات وهي كالأتي:
1- من حيث عدد المتغيرات المستقلة ( إعتيادية أوجزئية ).
2- من حيث الرتبة والدرجة ( الرتبة الأولى  ... والرتب العليا ).
3- من حيث الخطية (خطية  وغير خطية ).
4- من حيث التجانس ( متجانسة وغير متجانسة ).
5- من حيث المعاملات ( ثابتة أو متغيرة ).

•   المعادلة التفاضلية الجزئية: Partial D.E

إذا كان عدد المتغيرات المستقلة أكثر من واحد  وكان المتغير التابع قابل للإشتقاق بالنسبة لكل من المتغيرات المستقلة جزئياً ، سميت المعادلة المشتملة على المتغيرات المستقلة والمتغير التابع ومشتقاته الجزئية معادلة تفاضلية جزائية.

•   الصورة العامة للمعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من الرتبة الثانية:

تبدأ بالإشتقاق التاني للمتغير الأول ثم الإشتقاق الثاني لمتغير بدلالة الأخر ثم الإشتقاق الثاني للمتغير الثاني ثم المشتقة الأولى للمتغير الأول ثم المشتقة الأولى للمتغير الثاني ثم الدالة من غير مشتقة في طرف وفي الطرف الثاني ثابت إختياري أو دالة إختيارية  مرتبطة بالمتغيرات .

•  أنواع المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة: 

1- معادلة تفاضلية مكافئة :Parabolic Equation
إذا كان مميز المعادلة يساوي صفر

2- معادلة تفاضلية تزايدية : Hyperbolic Equation
إذا كان مميز المعادلة أكبر من صفر

3- معادلة تفاضلية تناقصية : Elliptic Equation
إذا كان مميز المعادلة أقل من صفر

رابط الملف PDF
http://www.scribd.com/doc/237746739/%D9%85%D9%84%D8%AE%D8%B5-%D8%B1%D9%82%D9%85-1